Ta co:

\(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=1\)hoac \(x=y=-1\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)(Vì x,y cùng dấu)

và \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)(Vì x,y cùng dấu)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{2}{xy}\ge2xy+\frac{2}{xy}=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\ge4\)(Vì \(xy+\frac{1}{xy}\ge2\left(cmt\right)\))

Vậy GTNN của \(x^2+y^2+\frac{2}{xy}\)là 4\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(=\left(x^2-xy+\frac{1}{4}y^2\right)-\left(x-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{12}\right)+\frac{2}{3}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(y^2+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}\right)+\frac{2}{3}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\forall x;y\)có GTNN là \(\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3};y=-\frac{1}{3}\)

mình làm thế này có đúng không bạn?

ta có : \(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

<=> \(2M=2x^2+2y^2-2xy-2x+2y+2\)

<=> \(2M=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1\)

<=>\(2M=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

<=> \(M=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}\)\(\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y\\x=1\\y=-1\end{cases}}\)

đặt \(A=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(\Leftrightarrow4A=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4\)

\(\Leftrightarrow4A=\left(2x-y\right)^2-2\left(2x-y\right)+1+3\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow4A=\left[\left(2x-y\right)-1\right]^2+3\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=\frac{-1}{3}\end{cases}}\)

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

tau biet ma