2.GTLN:4

1.x=-5

x⁴-x²+7

=(x²)²-2.x².1/2+1/4+27/4

=(x²-1/4)²+27/4\(\ge\)27/4 ( vì (x²-1/4)²\(\ge\)27/4)

dấu "=" xảy ra khi:

x²-1/4=0

<=>(x-1/2)(x+1/2)=0

<=>x-1/2=0 hoặc x+1/2=0

<=>x=1/2 hoặc x=-1/2

vậy GTNN của x⁴+x²+7 là 27/4 tại x=1/2 hoặc x=-1/2

Câu 1: 

a: Để M là số nguyên thì \(2x^3-6x^2+x-3-5⋮x-3\)

\(\Leftrightarrow x-3\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(x\in\left\{4;2;8;-2\right\}\)

b: Để N là số nguyên thì \(3x^2+2x-3x-2+5⋮3x+2\)

\(\Leftrightarrow3x+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(x\in\left\{-\dfrac{1}{3};-1;1;-\dfrac{7}{3}\right\}\)

Với \(k\in R\)ta có:

\(P+k=\frac{\left(kx^2-8x+k+6\right)}{\left(x^2+1\right)}\)

Với k = -8 thì:

\(P-8=\frac{\left[-2.\left(2x+1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)}\le0\)

\(\Rightarrow P\le8\)

\(\Rightarrow Max_P=8\)khi \(x=-\frac{1}{2}\)

\(P+2=\frac{\left[2.\left(x-2\right)^2\right]}{x^2+1}\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge2\)

\(\Rightarrow Min_A=-2\)khi \(x=2\)

\(P=\frac{6x-8}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow Px^2+P=6x-8\)

\(\Leftrightarrow Px^2+P-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow Px^2-6x+\left(P+8\right)=0\)(1)

Để PT (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\left(-6\right)^2-4P\left(P+8\right)\ge0\Leftrightarrow36-4P^2-32P\ge0\)

\(\Leftrightarrow9-P^2-8P\ge0\Leftrightarrow\left(-P-9\right)\left(P-1\right)\ge0\Leftrightarrow-9\le P\le1\)

Vậy P có giá trị nhỏ nhất là - 9 \(\Leftrightarrow-9x^2-6x-1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\)\

Vậy P có giá trị lớn nhất là 1 \(x^2-6x+9=0\Rightarrow x=3\)