Bài 1

Cho a , b , c > 0 . CM : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)\le\frac{a\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b}+\frac{b\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c}+\frac{c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a}\)

\(=\frac{a^2c}{b}+a^2+ab+ac+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+b^2+ab+c^2+bc+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\)

Mặt khác : \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+b\right)\left(b+c\right)=a^2+ac+c^2+3b^2+3ab+3bc\)

Do đó ta cần chứng minh :

\(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}\ge2b^2+2bc+ab\left(2\right)\)

\(VT=\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2\left(a+b\right)}{c}+\frac{cb\left(b+c\right)}{a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^3}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{c^2b}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b^3}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)+b^2\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\ge ab+\sqrt{ac^3}+\sqrt{\frac{b^4c}{a}}+2b^2\ge ab+2bc+2b^2=VP\)

Dấu " = " xảy ra khi a=b=c

Bài 2 :

Vì x , y , z > 0 ta có :

Áp dụng BĐT Cô - si đối với 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\) và \(\frac{y+z}{4}\)

ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\left(1\right)\) .

Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\left(2\right);\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\left(3\right)\)

Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\Rightarrow P\ge\left(x+xy+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy \(P=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Dự đoán các biểu thức đạt GTLN / GTNN tại các mút hoặc tại các biến bằng nhau.

Việc còn lại là nhóm hợp lý sao cho dấu bằng xảy ra giống như dự đoán,

\(A=a^2+\frac{18}{a^2}=\left(\frac{18}{a^2}+\frac{a^2}{72}\right)+\frac{71a^2}{72}\ge2\sqrt{\frac{18}{a^2}.\frac{a^2}{72}}+\frac{71.6^2}{72}=\frac{73}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{18}{a^2}=\frac{a^2}{72}\\a=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)

\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{8a^2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

c. \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\), làm tương tự câu a, b

d.

\(t=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=2\)

\(D=t+\frac{1}{t}\text{ }\left(t\ge2\right)\), làm tương tự câu a.

Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế của BĐT ta thu được :

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Từ giả thiết và BĐT AM-GM suy ra:\(\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\)3

Ta có:

P\(\ge\)\(\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2b^3}{3\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2c^3}{3\left(a^2+c^2\right)}\)

=\(\frac{2}{3}\)(\(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{b\left(c^2+b^2\right)-bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{a\left(a^2+c^2\right)-ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))

=\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)-\(\frac{bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)-\(\frac{ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))

\(\ge\)\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{a}{2}\)-\(\frac{b}{2}\)-\(\frac{c}{2}\))

=\(\frac{2}{3}\).\(\frac{a+b+c}{2}\)=\(\frac{a+b+c}{3}\)=\(\frac{\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)}{3}\)-1

\(\ge\)\(\frac{3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{3}\)-1\(\ge\)2

Vậy:MinP=2 khi a=b=c=2

cách này dễ hiểu hơn nè :

Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

Ta có : \(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)\(\Leftrightarrow a+b+c+3\ge9\)\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab^2-a^2b}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab^2+a^2b}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)

Tương tự : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\); \(\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge c-\frac{a+c}{3}\)

Cộng cả 3 vế , ta được : \(P\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}.6=2\)

Vậy GTNN của P là 2 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)