Ta có \(y'=x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a\)

Để y có cực đại và cực tiểu thì y' đổi dấu hai lần, tức là:

\(\Delta=\left(sina+cosa\right)^2-3sin2a>0\)

\(\Leftrightarrow1+sin2a-3sin2a>0\)

\(\Leftrightarrow sin2a< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{6}+k2\eta< 2a< \frac{13\eta}{6}+k2\eta\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\eta}{12}+k\eta< a< \frac{13\eta}{12}+k\eta\)

Tại cực trị \(y'=0\Leftrightarrow x^2-x\left(sina+cosa\right)+\frac{3}{4}sin2a=0\)(*)

(*) cho ta\(x_1+x_2=sina+cosa,x_1x_2=\frac{3}{4}sin2a\)(*)

Để \(x_1+x_2=x^2_1+x^2_2\)thì \(x_1+x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow sina+cosa=\left(sina+cosa\right)^2-\frac{3}{2}sin2a\)

\(\Leftrightarrow sina+cosa=1-\frac{1}{2}sin2a\)

Đặt \(t=cosa+sina=\sqrt{2}cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right),t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)

\(t^2=1+sin2a\Rightarrow sin2a=t^2-1\)

Do đó phương trình trên trở thành:

\(t=1-\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)\Leftrightarrow2t=3-t^2\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow t=1,t=-3\)

Vì\(t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\)nên chỉ nhân t=1

\(\Rightarrow cos\left(a-\frac{\eta}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\frac{\eta}{4}\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{\eta}{4}=\pm\frac{\eta}{4}+k2\eta\)

\(\Leftrightarrow a=k2\eta\)hay \(a=\frac{\eta}{2}+k2\eta\)(thỏa điều kiện câu a)

a: \(y=-x^3-3x^2+\left(5-m\right)x\)

=>\(y'=-3x^2-3\cdot2x+5-m\)

=>\(y'=-3x^2-6x+5-m\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-6\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(5-m\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(36+12\left(5-m\right)< =0\)

=>\(36+60-12m< =0\)

=>\(-12m+96< =0\)

=>-12m<=-96

=>m>=8

b: \(y=x^3+\left(2m-2\right)\cdot x^2+mx\)

=>\(y'=3x^2+2\left(2m-2\right)\cdot x+m\)

=>\(y'=3x^2+\left(4m-4\right)x+m\)

Để hàm số đồng biến trên R thì y'>=0 với mọi x

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3>0\\\left(4m-4\right)^2-4\cdot3\cdot m< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(16m^2-32m+16-12m< =0\)

=>\(16m^2-44m+16< =0\)

=>\(4m^2-11m+4< =0\)

=>\(\dfrac{11-\sqrt{57}}{8}< =m< =\dfrac{11+\sqrt{57}}{8}\)

Đáp án đúng : A

\(f'\left(x\right)=2m-3mx^2\Rightarrow f'\left(1\right)=2m-3m=-m\)

\(\Rightarrow-m\le1\Rightarrow m\ge-1\)

Chọn A

Điều kiện: \(x\ne1\)

a) Xét phương trình: \(\frac{x^2-2mx+3m-2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-2=0\)\(\left(x-1\ne0\right)\)

Pt có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>2\\m< 1\end{cases}}\)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}x_1=m-\sqrt{m^2-3m+2}\\x_2=m+\sqrt{m^2-3m+2}\end{cases}}\)

+) \(x_1,x_2\ne1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\\m+\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\end{cases}\Leftrightarrow m\ne1}\)

+) Tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm với trục Ox vuông góc với nhau

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y'\left(x_1\right)=-1\left(1\right)\\y'\left(x_2\right)=1\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x_1-2m\right)\left(x_1-1\right)-\left(x_1^2-2mx_1+3m-2\right)}{\left(x_1-1\right)^2}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\left(x_1-1\right)^2}=2\Rightarrow m-1=2\left(m-\sqrt{m^2-3m+2}-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[1-2\left(2m-3-2\sqrt{m^2-3m+2}\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{m^2-3m+2}=4m-7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ge\frac{7}{4}\\m=\frac{17}{8}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{17}{8}\)(t/m m>2 v m<1)

Giải (2) cho ra \(m=1\)(loại). Vậy m cần tìm là \(m=\frac{17}{8}.\)

\(y'=-3x^2-6x+m\Rightarrow y''=-6x-6\)

\(y''=0\Leftrightarrow-6x-6=0\Leftrightarrow x=-1\notin\left[0;1\right]\)

\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(0\right)=m\\y'\left(1\right)=m-9\end{matrix}\right.\Rightarrow^{max}_{\left[0;1\right]}y'=y'\left(0\right)=m\)

\(\Rightarrow m=10\)

Hoàng Hải Yến hình như có chỗ nào sai sai 

Lời giải:

\(y'=\frac{2}{3}x+m\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow m\geq -\frac{2}{3}x, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\geq \max (\frac{-2}{3}x), \forall x\in\mathbb{R}\)

Vì $\frac{-2}{3}x$ không có max với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên không tồn tại $m$