Đặt \(sinx=a\) (\(-1\le a\le1\) ) \(\Rightarrow2a^2-\left(5m+1\right)a+2m^2+2m=0\) (1)

Để pt đã cho có đúng 5 nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi}{2};3\pi\right)\) ta có 2 trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1=1\\-1< a_2\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2-5m-1+2m^2+2m=0\Leftrightarrow2m^2-3m+1=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\Rightarrow a_2=\frac{2m^2+2m}{2}=2\left(l\right)\\m=\frac{1}{2}\Rightarrow a_2=\frac{3}{4}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1=-1\\0< a_2< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2+5m+1+2m^2+2m=0\Rightarrow2m^2+7m+3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\Rightarrow a_2=-6\left(l\right)\\m=-\frac{1}{2}\Rightarrow a_2=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-\frac{1}{2}\)

còn th a=0

\(2\cos^2x+\left(3-2m\right)\cos x=2-m\)

\(t=\cos x\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=\left(3-2m\right)^2-4.2\left(m-2\right)=4m^2-12m+9-8m+16=4m^2-20m+25=\left(2m-5\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{2m-3-2m+5}{4}\\t=\frac{2m-3+2m-5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{1}{2}\\t=m-2\end{matrix}\right.\)

\(t=\frac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy để có 3 nghiệm thuộc khoảng (-pi/2;pi) thì pt còn lại cần 1 nghiệm nữa khác 2 nghiệm kia cũng thuộc khoảng (-pi/2;pi)

Xét hàm cos: \(t=m-2\) trong \(\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

Nhìn vô bbt ta thấy \(-1< t< 0\) thì phương trình có 1 nghiệm

\(\Rightarrow-1< m-2< 0\Leftrightarrow1< m< 2\)

1<=m<=2

ĐKXĐ: ...

a/ \(\frac{sin2x}{cos2x}+\frac{cosx}{sinx}=8cos^2x\)

\(\Leftrightarrow sin2x.sinx+cos2x.cosx=8cos^2x.sinx.cos2x\)

\(\Leftrightarrow cosx=4sin2x.cos2x.cosx\)

\(\Leftrightarrow cosx=2sin4x.cosx\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(2sin4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\sin4x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

b/ \(\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}+4sin2x=\frac{1}{sinx.cosx}\)

\(\Leftrightarrow cos^2x-sin^2x+4sin2x.sinx.cosx=1\)

\(\Leftrightarrow cos2x+2sin^22x=1\)

\(\Leftrightarrow cos2x+2\left(1-cos^22x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow-2cos^22x+cos2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\\cos2x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

1c/

\(5sinx-2=3\left(1-sinx\right)\frac{sin^2x}{1-sin^2x}\)

\(\Leftrightarrow5sinx-2=\frac{3sin^2x}{1+sinx}\)

\(\Leftrightarrow\left(5sinx-2\right)\left(1+sinx\right)=3sin^2x\)

\(\Leftrightarrow5sin^2x+3sinx-2=3sin^2x\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x+3sinx-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{1}{2}\\sinx=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)

Bài 2:

a/ \(\Leftrightarrow\frac{\left(m+1\right)\left(1-cos2x\right)}{2}-sin2x+cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow2sin2x+\left(m-1\right)cos2x=m+1\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(4+\left(m-1\right)^2\ge\left(m+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m\le4\Rightarrow m\le1\)