\(x^2-2\left(m-1\right)x+m-5=0\)

Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)\(=\left(2x-3\right)^2+15>0\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=\left|x_1-x_2\right|\)

\(\Rightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)

\(=\left(2m-3\right)^2+15\ge15\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{15}\)

\(A_{min}=\sqrt{15}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

ok bạn

Để PT có 2 nghiệm thì:

∆' = (m - 1)² - (m - 5) > 0

<=> m² - 3m + 6 > 0

Đúng với mọi m.

Theo vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m-5\end{cases}}\)

Theo đề ta có:

(2x₁ - 1)(2x₂ - 1) = 3

<=> 4x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) = 2

<=> 4(m - 5) - 2(2m - 2) = 2

<=> 0m = 18​

Vậy không tồn tại n thỏa mãn

\(x^2-\left(m-1\right)x-2=0\)

a=1; b=-m+1; c=-2

Vì a*c=-2<0

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left[-\left(m-1\right)\right]}{1}=m-1\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{1}=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(m-1\right)^2-4\cdot\left(-2\right)=\left(m-1\right)^2+8\)

=>\(x_1-x_2=\pm\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2^2-3}{x_1^2-3}\)

=>\(x_1\left(x_1^2-3\right)=x_2\left(x_2^2-3\right)\)

=>\(x_1^3-x_2^3=3x_1-3x_2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2-3\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-3\right]=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1-x_2=0\\\left(m-1\right)^2-\left(-2\right)-3=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{\left(m-1\right)^2+8}=0\left(vôlý\right)\\\left(m-1\right)^2-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(m-1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-1=1\\m-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=0\end{matrix}\right.\)

X2 -5X +m -3 =0     (#)

phtình (#) có 2 nghiệm phân biệt x1x2 

denta >0

(-5)2 - 4 . 1 . (m-3) > 0

25 -4m + 12 > 0

37 -4m >0

m<37/4

với m< 37/4 áp dụng định lí vi ét ta có :

•  x1 +x2 =5
• x1x2=m-3          =>  thay x1 + x2 vào (1)/ thay x1x2 vào (1)  

a. Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.m^2=4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2=-8m+4>0\)

\(\Rightarrow m< \frac{1}{2}\)

b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=m^2\end{cases}}\)

Từ \(x_1^2+x_2^2-3.x_1.x_2+3=0\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5.x_1.x_2+3=0\)

\(\Rightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-5m^2+3=0\Rightarrow-m^2-8m+7=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=-4-\sqrt{23}\\m=-4+\sqrt{23}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy \(m=-4-\sqrt{23}\)