1, yx²+yx+y=1

=> y(x²+x+1)=1

=>\(y=\frac{1}{x^2+x+1}\)

Vì y là số nguyên dương => 1\(⋮\)x²+x+1

=> x²+x+1=1(vì x>0)

=> vô nghiệm

Vậy không có nghiệm nguyên dương t/m pt

\(y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}=x-1+\frac{x+8}{x^2+1}\)

Đặt 

\(A=\frac{x+8}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)A=\frac{x^2-64}{x^2+1}=1-\frac{65}{x^2+1}\)

Để A nguyên thì \(x^2+1\)phải là ước của 65. Làm nốt

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+y\right)=1-y\Leftrightarrow x=\frac{1-y}{y^2+y}\)

Do \(y\) nguyên dương \(\Rightarrow1-y\le0\Rightarrow x\le0\Rightarrow\) không tồn tại nghiệm nguyên dương của pt đã cho

Ta có:

\(B=\dfrac{x^2}{x^4+1}\)

\(2B-1=\dfrac{2x^2-x^4-1}{x^4+1}\)

\(2B-1=\dfrac{-\left(x^2-1\right)^2}{x^4+1}\)

Ta có:

\(\dfrac{-\left(x^2-1\right)}{x^4+1}\le0\)

\(\Rightarrow2B-1\le0\)

\(\Leftrightarrow B\le\dfrac{1}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi

\(x^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Còn ý a thì sao

b) chia cả 2 vế cho xyz>0 ta được: \(\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}=3\)

không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\ge1\). Ta có:

\(3=\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}\le\frac{15}{z^3}\Rightarrow z^3\le5\Rightarrow z=1\)

\(z=1\Rightarrow2x+2y+11=3xyz\Rightarrow3=\frac{2}{y}+\frac{2}{x}+\frac{1}{xy}\le\frac{15}{y^2}\Rightarrow y^2\le5\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1;x=1\\y=2;x=\frac{15}{4}\end{cases}}}\)

ĐCĐK và kết luận

Vậy (1;1;13);(13;1;1);(1;13;1)