(x^2-2xy+y^2)+(y^2+2y+1)+3y^2+1

=(x+y)^2+(y+1)^2+3y^2+1>1

vay A luon duong

A=x^2-4xy-2y+2+5y^2

=x^2-4xy+4y^2-2y+2+y^2

=(x-2y)^2+(y^2-2y+1)+1

=(x-2y)^2+(y-1)^2+1

ta có (x-2y)^2>/0 với mọi x,y

         (y-1)^2>/0 với mọi x,y

          1>0

=> (x-2y)^2+(y-1)^2+1 >0 với mọi x,y

=> A luôn duong với mọi x,y

\(A=X^2-4XY-2Y+2+5Y^2\)

\(=X^2-4XY+4Y^2+Y^2-2Y+1+1\)

\(=\left(X-2Y\right)^2+\left(Y-1\right)^2+1>0\)

_______________Bài làm___________________

a, \(x^2+xy+y^2+1\)

\(=\left(x^2+2x\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{4}\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^3}{4}+1\)

Do \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\forall x,y\)

Và \(\dfrac{3y^2}{4}\ge0\forall y\)

Nên: \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0\forall x,y=>đpcm\)

b, \(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(2x-4y\right)+\left(y^2-6y+9\right)+5\)

\(=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+\left(y-3\right)^2+5\)

\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4\)

Do \(\left(x-2y+1\right)^2\ge0\forall x,y\)

Và \(\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\)

Nên \(\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4>0\)

c, \(5x^2+10y^2-6xy-4x-2y+3\)

\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(4x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+1\)

\(=\left(x-3y\right)^2+\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\)

Do .........

tự làm ik

a Ta có 4x² - 4x + 3 = (4x² - 4x + 1) + 2 = (2x - 1)² + 2 \(\ge\)2 > 0 (đpcm)

b) Ta có y - y² - 1 

= -(y² - y + 1)

= -(y² - y + 1/4) - 3/4

= -(y - 1/2)² - 3/4 \(\le-\frac{3}{4}< 0\)(đpcm)

a) 4x² - 4x + 3 = ( 4x² - 4x + 1 ) + 2 = ( 2x - 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

b) y - y² - 1 = -( y² - y + 1/4 ) - 3/4 = -( y - 1/2 ) - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )

Ta có: \(M=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2=\left(x-2y\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2,\left(y-1\right)^2>0\)với mọi x,y nên M luôn dương

Ta có điều phải chứng minh

2. Ta có: P = 2x² + y² - 4x - 4y + 10

P = 2(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 4

P = 2(x - 1)² + (y - 2)² + 4 \(\ge\)4 \(\forall\)x;y

=> P luôn dương với mọi biến x;y

3 Ta có:

(2n + 1)(n² - 3n - 1) - 2n³ + 1

= 2n³ - 6n² - 2n + n² - 3n - 1 - 2n³ + 1

= -5n² - 5n = -5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)n \(\in\)Z

1×2=2

1. 

Xét hiệu:

\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)

\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm

2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)

3. Xét hiệu:

\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương

Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương

4) xét hiệu:

\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\

<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z

Vậy suy ra điều cần chứng minh

\(A=x^2-4xy+4y^2+y^2-2y+1+1\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-2y\right)^2+\left(y-1\right)^2+1>0\)

Vậy biểu thức A luôn dương với mọi x,y