Lời giải:

Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1$ (\(k\in\mathbb{Z})\)

Ta có:

\(n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n^2-1)(n+3)\)

\(=(n-1)(n+1)(n+3)=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3)\)

\(=8k(k+1)(k+2)\)

Vì \(k(k+1)(k+2)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(k(k+1)(k+2)\vdots 3\) và \(k(k+1)(k+2)\vdots 2\)

Mà $(2,3)=1$ nên \(k(k+1)(k+2)\vdots 6\)

\(\Rightarrow n^3+3n^2-n-3\vdots (8.6=48)\)

Ta có đpcm.

1

Lời giải:

Câu 1)

Ta có: \(A_n=n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)\)

\(A_n=(n^2-1)(n+3)=(n-1)(n+1)(n+3)\)

Do $n$ lẻ nên đặt \(n=2k+1\)

\(A_n=(n-1)(n+1)(n+3)=2k(2k+2)(2k+4)\)

\(A_n=8k(k+1)(k+2)\)

Do \(k,k+1,k+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Rightarrow A_n=8k(k+1)(k+2)\vdots 3(1)\)

Mặt khác \(k,k+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(k(k+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A_n=8k(k+1)(k+2)\vdots (8.2=16)(2)\)

Từ \((1); (2)\) kết hợp với \((3,16)\) nguyên tố cùng nhau nên

\(A_n\vdots (16.3)\Leftrightarrow A_n\vdots 48\)

Ta có đpcm.

Bài 2:

\(A_n=2n^3+3n^2+n=n(2n^2+3n+1)\)

\(A_n=n[2n(n+1)+(n+1)]=n(n+1)(2n+1)\)

Vì \(n,n+1\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A_n\vdots 2(1)\)

Bây giờ, xét các TH sau:

TH1: \(n=3k\Rightarrow A_n=3k(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

TH2: \(n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A_n=n(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

TH3: \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3\)

\(\Rightarrow A_n=n(n+1)(2n+1)\vdots 3\)

Vậy trong mọi TH thì \(A_n\vdots 3(2)\)

Từ (1); (2) kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau suy ra \(A_n\vdots 6\)

Ta có đpcm.

\(n^2+4n+3=n^2+2.n.2+2^2-1\)

\(=\left(n+2\right)^2-1\)

\(=\left(n+2-1\right).\left(n+2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right).\left(n+3\right)⋮8\)

Ta có n²+4n+3=(n+1)(n+3)

Vì n là số lẻ nên (n+1)và (n+3) là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp

Do đó một trong hai số có một số chia hết cho 4 khi đó số còn lại chia hết cho 2

Vậy tích (n+1)(n+3) chia hết cho 8 và ta có điều phải chứng minh

vì các phân số đó ko rút gọn được nữa

a ) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left(n+3+n-1\right)\left(n+3-n+1\right)\)

\(=\left(2n+2\right).4\)

\(=8\left(n+1\right)\) chia hết cho 8

\(\Rightarrow\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2⋮8\)

b ) \(\left(2n+1\right)^2-1\)

\(=\left(2n+1-1\right)\left(2n+1+1\right)\)

\(=2n.\left(2n+2\right)\)

\(=2.2n\left(n+1\right)\)

\(=4n\left(n+1\right)\)

Ta có : \(n\left(n+1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow4n\left(n+1\right)⋮8\).

c ) Gọi 2 số lẻ liên tiếp là \(2n+1\) và \(2n-1\)

Ta có : \(\left(2n+1\right)^2-\left(2n-1\right)^2\)

\(=\left(2n+1+2n-1\right)\left(2n+1-2n+1\right)\)

\(=4n.2\)

\(=8n\) chia hết cho 8

Vậy .........

a)4n²-3n-1 chia hết cho 4n-1

<=>4n²-n-2n-1 chia hết cho 4n-1

<=>n(4n-1)-(2n+1) chia hết cho 4n-1

<=>2n+1 chia hết cho 4n-1

<=>2(2n+1) chia hết cho 4n-1

<=>4n-1+3 chia hết cho 4n-1

<=>3 chia hết cho 4n-1

=>4n-1 thuộc Ư(3)

=>Ư(3)={-1;1;-3;3}

Ta có bảng sau:

Vậy n thuộc {0;1}

b)4n²-3n-1 chia hết cho n-1

<=>4n²-4n+n-1 chia hết cho n-1

<=>4n(n-1)+n-1 chia hết cho n-1

<=>(4n+1)(n-1) chia hết cho n-1

<=>n thuộc N với mọi gtrị

P/s: "chia hết cho" thì viết kí hiệu vô

Is that T :))

a) Xét n²+4n+3= n²+n+3n+3= n(n+1) + 3(n+1)= (n+1)(n+3) 
Mà n là số nguyên lẻ nên n chia cho 2 dư 1 hay n= 2k+1( k thuộc Z) 
do đó n²+4n+3= (n+1)(n+3)= (2k+1+1)(2k+1+3)= (2k+2)(2k+4) 
= 2(k+1)2(k+2)= 4(k+1)(k+2) 
Mà (k+1)(k+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2. 
Vậy n²+4n+3= (n+1)(n+3)= 4(k+1)(k+2) chia hết cho 4; chia hết cho 2

=>n²+4n+3 chia hết cho 4.2=8 ( đpcm)

a) vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 vậy n^2+4n+3=4k^2+1+8k+4+3

=4k^2+8+8k NX:8+8n chia hết cho 8 nên 4k^2 chia hết cho 8

vì 2k+1 lẻ nên k là số chẳn vậy k chia 8 dư 0;2;4;6 TH dư 0 dễ

nếu k chia 8 dư 2 thì 4k chia hết cho 8; nếu k chia 8 dư 4 thì k^2 chia hết cho 8

nếu k chia 8 dư 6 thì 4k^2 chia hết cho 8. bạn tự nhân lên sẽ rõ lí do