d)

đặt A = 1 + 2 + 2² + ... + 2⁸⁰ 

2A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁸¹

2A - A = ( 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁸¹ ) - ( 1 + 2 + 2² + ... + 2⁸⁰ )

A = 2⁸¹ - 1 > 2⁸¹ - 2

e) 

đặt \(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{899}{900}\)

\(A=\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{9}\right)+\left(1-\frac{1}{16}\right)+...+\left(1-\frac{1}{900}\right)\)

\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{900}\right)\)

\(A=29-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{900}\right)\)

đặt \(B=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{900}\)

\(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{30^2}\)

\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{29.30}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{29}-\frac{1}{30}\)

\(=1-\frac{1}{30}=\frac{29}{30}< 1\)

\(\Rightarrow A< 29\)

So sánh C và D biết
C=1+13+13^2+...+13^13/1+13+13^2+...+13^12
D=1+11+11^2+...+11^13/1+11+11^2+...+11^12

Nhân E với 4, rút gọn phân số là số hạng của 4E. Lấy 4E trừ đi E, bạn tìm được 3E = 1 - 1/4¹⁰  < 1 => E < 1 (đpcm).

Ta có 

4E=\(1+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{4^9}\)

4E-E= \(1-\frac{1}{4^{10}}\)<1

<=> E=\(\left(1-\frac{1}{4^{10}}\right):3<1\)

Vậy E<1

---------------

Thấy đúng thì k nhé

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2cb+2ac>a²+b²+c²

(a+b+c)²/3>(a²+b²+c²)/3

ta có                 \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

tương đương    \(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

cộng 2 vế với a²+b²+c², ta có\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

chia cả 2 vế cho 9,ta có bđt cần chứng minh

giúp mình với mai phải nộp rồi

ta có:

 \(\frac{1}{11}\)>\(\frac{10}{20}\)

\(\frac{1}{12}\)>\(\frac{10}{20}\)

\(\frac{1}{13}\)>\(\frac{10}{20}\)

....

\(\frac{1}{19}\)>\(\frac{10}{20}\)

=>E >\(\frac{10}{20}\)

vậy E > \(\frac{1}{2}\)