\(P=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{(4-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}}\geq x^{2}+1+\frac{1}{(3-\frac{1}{x})^{2}}=x^{2}+1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}}\) ( do \(y\geq 1)\)

\(x> \frac{1}{3}=>3x-1> 0 \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: 

\(x^{2}+\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{x^{2}}{4(3x-1)^{2}}}=\frac{x^{2}}{3x-1}\)

Ta cm: \(\frac{x^{2}}{3x-1}\geq \frac{1}{2}<=>2x^{2}\geq 3x-1<=>(x-1)(2x-1)\geq 0\) đúng do \(\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}\)

\(1+\frac{3x^{2}}{4(3x-1)^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(1+\frac{x^{2}}{(3x-1)^{2}})\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2.\frac{x}{3x-1}\geq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}.2=\frac{7}{4}\)

Do \(\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3}.\frac{3x}{3x-1}=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{3x-1})\geq \frac{1}{3}(1+\frac{1}{\frac{3}{2}-1})=1\)

\(<=>y=1,x=\frac{1}{2}\)

Phù ~ THỞ PHÀO NHẸ NHÕM

2.M = 2x² – 10x + 2y² + 2xy – 8y + 4038 = (x² – 10x + 25) +( y² + 2xy + y²) + ( y² – 8y + 16)  + 3997

= (x-5)² + (x+y)² + (y - 4)² + 3997 = N + 3997

Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi a: (ax+ by + cz)² \(\le\) (a²+ b² + c²). (x² + y² + z²). Dấu bằng xảy ra khi a/x = b/y = c/z

Ta có: [(5 - x).1 + (x+ y).1 + (y + 4).1]² \(\le\) [(5 - x)² + (x+y)² + (y - 4)² ].(1+ 1+1) = N .3 = 3.N

<=> 9² = 81 \(\le\) 3.N => N \(\ge\) 27 => 2.M \(\ge\) 27 + 3997 = 4024 

=> M \(\ge\)2012

vậy Min M  = 2012

khi 5 - x = x+ y = y + 4 => x = 4 ; y = -3

\(x^2\left(x^2+2y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1\)

<=> \(x^4+2x^2y^2-3x^2+y^4-4y^2+4=1\)

<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2-4\left(x^2+y^2\right)+3=-x^2\le0\) (1)

Đặt \(x^2+y^2=a\) ( \(a\ge0\) ) 

(1) => \(a^2-4a+3\le0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-3\right)\le0\Leftrightarrow1\le a\le3\)

Vậy GTNN của \(x^2+y^2là1\)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 0 ; y = 1 

AI

K

CHO

MINH

VOI

CAM

ON

AI

K

CHO

MINH

VOI

CAM

ON

Vì x,y,z dương = > x²⁰¹⁹ ; y²⁰¹⁹ ; z²⁰¹⁹ 

Ta có : 3 = 1 + 1 + 1 hoặc = 1 + 2 + 0

Mà nếu một số = 2 ( g/s là x²⁰¹⁹ ) = > x ko là số dương = > Loại trường hợp có số hạng 2

= > x²⁰¹⁹ + y²⁰¹⁹ + z²⁰¹⁹ = 1 + 1 + 1

= > x²⁰¹⁹ = y²⁰¹⁹ = z²⁰¹⁹ = 1 = > x = y = z = 1

= > M = x² + y² + z² = 1² + 1² + 1² = 1 + 1 + 1 = 3

Vậy M = 3

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

\(x^2-4xy+4y^2+y^2+2y+1-4=0\)

\(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4=0\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2\) lớn hơn hoặc bằng 0

và \(\left(y+1\right)^2\) lớn hơn hoặc bằng 0

Nên \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4\) lớn hơn hoặc bằng -4

nên GTNN là -4 

ban đầu m cũng làm giống bạn, nhưng đọc lại đề bài m cảm thấy khó hiểu : tìm X để cho Y thỏa mãn

đề m thi HK2 ấy

bằng 1 nha bạn