Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(4M=(3x^2+y^2)(3+1)\geq (3x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow 4M\geq 1\Leftrightarrow M\geq \frac{1}{4}\)

Vậy \(M_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)

b) Với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow (3x-y)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 9x^2+y^2-6xy\geq 0\Leftrightarrow (3x+y)^2-12xy\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy\leq \frac{(3x+y)^2}{12}=\frac{1}{12}\)

Vậy \(K_{\max}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow x=\frac{1}{6};y=\frac{1}{2}\)

\(3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\le2\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

\(B_{min}=-\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)

\(B_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Bạn hỏi sớm hơn nữa nhé hỏi mụn lúc này ít ai tloi lắm

a) \(A=\frac{1}{4}x^2+x-2\)

\(=\left(\frac{1}{2}x\right)^2+2.\frac{1}{2}x.1+1-3\)

\(=\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2-3\)

Vì \(\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2-3\ge0-3;\forall x\)

Hay \(A\ge-3;\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2=0\)

                        \(\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy MIN A=-3 \(\Leftrightarrow x=-2\)

Các câu khác cứ việc khai triển ra hằng đẳng thức mũ chẵn mà làm nhé

bạn nào đúng mk k nha okay!!!

minh giong vu the qang huy

2)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có

\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)

\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{3+xy+xz+yz}\) ( 1 )

Ta có \(C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{4}\)

Vậy \(C_{min}=\dfrac{9}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

Mấy dạng này mik ngu nhất luôn bạn ạ~~

Áp dụng bđt svacxơ, ta có

\(A\ge\frac{4}{x+\sqrt{xy}}\)

mà \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\Rightarrow x+\sqrt{xy}\le\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\)

=> \(A\ge\frac{1}{8}\)

dấu = xảy ra <=> x=y=1/4

nguồn :Quân Minh

nhok cho chị mượn chỗ lát

Áp dụng bđt bu nhi a ta có \(\left(2x^2+3xy+4y^2\right)\left(2+3+4\right)\ge\left(2x+3.\sqrt{xy}+4y\right)^2\)

\(A=x-x^2\)

\(A=-\left(x^2-x\right)\)

\(A=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)

\(A=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]\)

\(A=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Còn lại tương tự

làm hộ câu c)