Áp dụng BĐT Mincopxki và AM - GM ta có :

\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\sqrt[2]{\left(x+y+z\right)^2.\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+80}}\)

\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\)(đk;x>0)

\(\Leftrightarrow x^2+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^2+1}=8x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)+2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^2+1}+x=9x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}\right)^2-9x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}+3\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}-3\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+4\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-2\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}-2\sqrt{x}=0\)(vì \(\sqrt{x^2+1}+4\sqrt{x}>0\))

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2+\sqrt{3}\right)\left(x-2-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2-\sqrt{3}\\x=2+\sqrt{3}\end{cases}}\)(thõa mãn điều kiện)

\(\sqrt{x-2009}-\sqrt{y-2008}-\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)(đk:x>2009,y>2008,z>2)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+\left(\sqrt{x-2008}+1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}+1\right)^2+4014=0\)(không thõa mãn)

Lý do có kết quả trên là vì chuyển 1\2 qua vế trái và tách theo hằng đẳng thức

Bài tiếp theo cũng làm tương tự

2/ Ta có

\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x

\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)

\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)

Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)

Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

Bài này trình bày dài làm biếng làm quá

Cái  thứ nhất nhân cả tử với mẫu với x 

Cái  thứ hai nhân cả tử với mẫu với y 

Cái  thứ ba nhân cả tử với mẫu với z

Áp dụng cô si ở mẫu

dấu = xảy ra khi x=y=z=1( không TM) => Không xảy ra dấu =

=> đpcm

p/s: Mình định trình bày đầy đủ cho bạn nhưng đánh gần xong thì tự nhiên máy tính thoát ra. giờ thì hướng dẫn thôi. Sorry

Chứng minh BĐT \(\ge2\)chứ?

Ta có: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Tương tự ta có: \(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\)

Và: \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng theo 3 vế BĐT trên ta có:

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^2+z^2\right)=2\left(đpcm\right)\)

Ta có BĐT sau: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng, ta được: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x^2+1+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)(1)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)(2); \(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)(3)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)

\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)(Nhân 2 vế của bất đẳng thức với \(2-\sqrt{2}>0\))           (4)

Cộng theo vế của 4 BĐT (1), (2), (3), (4), ta được:

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)

\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)(Do theo giả thiết thì \(x+y+z\le3\))

hay \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le6+3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(6+3\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = z = 1

Gọi \(\overrightarrow{1a}=\left(x;\frac{1}{x}\right);\overrightarrow{b}=\left(y;\frac{1}{y}\right);\overrightarrow{c}=\left(z;\frac{1}{z}\right)\)

Ta có:

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|+\left|\overrightarrow{c}\right|\)

\(\ge\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{1^2+\frac{9^2}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)

Áp dụng BDT MInkopki

VT\(\ge\)\(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}=\sqrt{82}\)

BDT minkopki

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge\sqrt{\left(a+c+e\right)^2+\left(b+d+f\right)^2}\)