Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

a)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)

\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)

\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)

\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)

b)

Xét hiệu

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)

\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

c)

Xét hiệu:

\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)

\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)

\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)

d)

Xét hiệu:

\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)

\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)

\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Phần I

Câu 1: c,d

Câu 2: e

Phần II

Câu 1:

a, 2008a²-2008b²=2008(a²-b²)=2008(a-b)(a+b)

b, x²-8x+15=x²-3x-5x-+15=x(x-3)-5(x-3)=(x-5)(x-3)

Câu 2:

a, M= (x-3)(x+3)-(x+2)²-2(x²-4,5)

M= x²-9-(x²+4x+4)-2x²+9

M= x²-9-x²-4x-4-2x²+9

M= -2x²-4x-4

M= -2(x²+2x+2)b, Để M=0 -> -2(x²+2x+2)=0->x²+2x+2=0

Phần 1:

Câu 1: D

Câu 2: E

Phần 2:

Câu 1:

\(A=2008a^2-2008b^2\)

\(=2008\left(a^2-b^2\right)\)

\(=2008\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(B=x^2-8x+15\)

\(=x^2-3x-5x+15\)

\(=x\left(x-3\right)-5\left(x-3\right)\)

\(=\left(x-3\right)\left(x-5\right)\)

Câu 2:

\(M=\left(x-3\right)\left(x+3\right)-\left(x+2\right)^2-2\left(x^2-4,5\right)\)

\(=x^2-9-x^2-4x-4-2x^2+9\)

\(=-2x^2-4x-4\)

\(=-2\left(x^2+2x+2\right)\)

\(=-2\left[\left(x^2+2x+1\right)+1\right]\)

\(=-2\left[\left(x+1\right)^2+1\right]\)

\(=-2-2\left(x+1\right)^2\le-2< 0\)

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu.

\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)
 

Phần a là HBA ~ ABC chứ nhỉ?

a, Xét tam giác HBA và tam giác ABC có:

góc BHA = góc BAC = 90^o (ABC vg tại A và AH là đường cao)

góc B chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)ABC (gg)

b, Vì \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)ABC (cmt) (1)

Tương tự ta cx có: \(\Delta\)HAC ~ \(\Delta\)ABC (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)HAC

\(\Rightarrow\) \(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\) hay AH² = CH . BH (đpcm)

Vì \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)ABC (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\) hay AB² = BC . BH (đpcm)

Vì \(\Delta\)HAC ~ \(\Delta\)ABC (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}\) hay AC² = BC . HC (đpcm)

c, Xét tam giác ABC vg tại A có: BA\(\perp\)CA

\(\Rightarrow\) BC² = AB² + AC² (định lí Pytago)

BC² = 15² + 20²

BC² = 625

BC = \(\sqrt{625}\) = 25 (cm)

Vì \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)ABC (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\)

hay \(\frac{15}{25}=\frac{BH}{15}\) \(\Rightarrow\) BH = \(\frac{15^2}{25}\) = 9 (cm)

Vì BH = 9 cm nên CH = 25 - 9 = 16 (cm)

Vì \(\Delta\)HBA ~ \(\Delta\)HAC (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\) hay \(\frac{AH}{16}=\frac{9}{AH}\)

\(\Rightarrow\) \(AH^2=16\cdot9=144\)

\(\Rightarrow\) \(AH=\sqrt{144}=12\) (cm)

d, Xét tam giác ABC có: BD là tia p/g của góc ABC (gt)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}\) (t/c đường p/g của tam giác)

hay \(\frac{20-CD}{15}=\frac{CD}{25}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{5\left(20-CD\right)}{75}=\frac{3CD}{75}\)

\(\Rightarrow\) 5(20 - CD) = 3CD

\(\Leftrightarrow\) 100 - 5CD = 3CD

\(\Leftrightarrow\) 3CD + 5CD = 100

\(\Leftrightarrow\) 8CD = 100

\(\Leftrightarrow\) CD = 12,5 (cm)

\(\Rightarrow\) AD = 20 - 12,5 = 7,5 (cm)

e, Ko thể có 2 điểm H được nên mk gọi D vuông góc với BC tại M nha!

Xét tam giác CMD và tam giác CAB có:

góc CMD = góc CAB = 90^o (DM \(\perp\) BC và \(\Delta\)ABC vg tại A theo gt)

góc C chung

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)CAB (gg)

\(\Rightarrow\) \(\frac{CM}{CA}=\frac{CD}{CB}\) hay CM . CB = CD . CA (đpcm)

Chúc bn học tốt!! (Dài quá :vvv)

a) Xét ΔHBA và ΔABC có

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔHBA∼ΔABC(g-g)(1)

Xét ΔHAC và ΔABC có

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ACB}\) chung

Do đó: ΔHAC∼ΔABC(g-g)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔHBA∼ΔHAC(đpcm)

b) Ta có: ΔHBA∼ΔABC(cmt)

⇒\(\frac{HB}{AB}=\frac{BA}{BC}=\frac{HA}{AC}=k_1\)(tỉ số đồng dạng)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)(đpcm)

Ta có: ΔHAC∼ΔABC(cmt)

⇒\(\frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}=k_2\)(tỉ số đồng dạng)

hay \(AC^2=BC\cdot HC\)(đpcm)

Ta có: ΔHBA∼ΔHAC(cmt)

⇒\(\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}=\frac{BA}{AC}=k\)(tỉ số đồng dạng)

hay \(HA^2=HB\cdot HC\)(đpcm)

c) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

⇔\(BC^2=15^2+20^2=625\)

hay \(BC=\sqrt{625}=25cm\)

Ta có: \(AB^2=BC\cdot BH\)(cmt)

⇔\(15^2=25\cdot BH\)

⇔\(BH=\frac{15^2}{25}=\frac{225}{25}=9cm\)

Ta có: \(\frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}\)(cmt)

⇔\(\frac{HA}{15}=\frac{20}{25}\)

⇔\(HA=\frac{15\cdot20}{25}=\frac{300}{25}=12cm\)

Vậy: BC=25cm; BH=9cm; HA=12cm

d) Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{CB}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\frac{AD}{15}=\frac{CD}{25}\)

Ta có: AD+CD=AC(D nằm giữa A và C)

hay AD+CD=20cm

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{AD}{15}=\frac{CD}{25}=\frac{AD+CD}{15+25}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AD}{15}=\frac{1}{2}\\\frac{CD}{25}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=\frac{15\cdot1}{2}=7,5cm\\CD=\frac{25\cdot1}{2}=12,5cm\end{matrix}\right.\)

Vậy: AD=7,5cm; CD=12,5cm

e) Đề sai rồi bạn

a) \(\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{64}-1\right)\)

\(=\dfrac{3^{64}-1}{2}\)

b) \(\left(a+b+c\right)2+\left(a-b-c\right)2+\left(b-c-a\right)2+\left(c-a-b\right)2\)

\(=2\left[\left(a+b+c\right)+\left(a-b-c\right)+\left(b-c-a\right)+\left(c-a-b\right)\right]\)

\(=2\left(a+b+c+a-b-c+b-c-a+c-a-b\right)\)

\(=2.0\)

\(=0\)

c)\(\left(a+b+c+d\right)2+\left(a+b-c-d\right)2+\left(a+c-b-d\right)2+\left(a+d-b-c\right)2\)

\(=2\left(a+b+c+d+a+b-c-d+a+c-b-d+a+d-b-c\right)\)

\(=2.4a\)

\(=8a\)